2023

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Aquarelles

PinWheel tiling

Avec "pinwheel tiling" vous saurez vite de quoi il s'agit. Avec "pavage en moulin à vent", la traduction, ce sera bien plus réduit. Nous parlerons donc de PinWheel, plus simplement de PW et pour rester discret de pavage PW. Dessiner des pavages PW est un exercice amusant, totalement accessible parce qu'il suffit de deux objets très simples. Le premier est une feuille de papier, grande pour les personnes patientes par exemple 65 cm x 50 cm (cadre rouge) avec une fenêtre pour faire joli par exemple 40cm x 53 cm, petite si c'est juste pour voir.

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Le second est un principe de découpage d'un triangle particulier :

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Un triangle PW est un triangle rectangle dont le grand côté de l'angle droit a une longueur double de celle du petit côté de l'angle droit. Il se décompose très simplement en cinq triangles PW plus petits, lesquels pour la même raison se décomposeront en cinq nouveaux triangles PW encore plus petits ...
D'où le pavage PinWheel de la feuille : On peut toujours mettre la feuille dans un triangle PW au moins en pensée et commencer le découpage :

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Le principe est simple, on peut écrire un programme qui fera des figures parfaitement exactes :

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Il s'agit ici d'y mettre la main. Cette procédure est évidemment mathématique : Elle génère une figure aux propriétés curieuses. C'est un pavage acyclique, on n'y retrouve jamais une figure qui revient régulièrement. Les triangles sont orientés dans toutes les directions sans direction particulière, cette petite règle simple génère des variations cahotiques à l'infini. L'invention est de Charles Radin (The pinwhccl tilings of
the plane Annals of Mathematics, 139 (1994), 661-702). L'approche pratique est hésitante au début car on ne peut tracer le premier triangle bien trop grand.

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Puis la mécanique s'installe :

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Un dernier niveau et ça devient fastidieux :

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On remarquera que chaque niveau est coloré à l'aide de trois couleurs. Ceci n'est pas contenu dans la procédure de base, loin de là. C'est un théorème récent qui dit :

Theorem 6.9.The minimal number of colours needed to colour the faces of the pinwheel tiling is 3.

Cela veut dire que trois couleurs suffisent pour que chaque triangle d'un niveau donné ait une couleur différente de tout autre avec lequel il y a une frontière commune. Trois couleurs suffisent, c'est un résultat spectaculaire. Et trouver comment faire est un vilain problème. Tout est résolu dans l'article Colourings of aperiodic tilings de Molly Evans, Dylan Gawlak, Christopher Ramsey, Nicolae Strungaru and Ryan Trang 2022 (https://doi.org/10.48550/arXiv.2209.06364)
Graphiquement on arrive à un drôle d'endroit où forme et couleur ont deux statuts différents, relèvent de deux questions différentes. La forme est fractale, la couleur est définie à une échelle. En effet le pavage peut être vu comme un découpage ou un assemblage ou les deux et on peut mélanger les échelles pour rendre compte de la procédure :

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Au contraire, les trois couleurs suffisantes n'ot de sens qu'à une échelle données et aucun lien ne lie un coloriage à l'autre. Il peut sembler intéressant d'explorer l'intervalle laissé libre.

Au jour le jour

Retour à Djelfa

Durant l'apprentissage du dessin on découvre la force et la simplicité d'un trait unique. J'ai utilisé de telles images comme dans

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Il s'agit de gravures rupestres datées entre -5000 et -7000 ans de notre ère. On peut les admirer in natura sur le versant sud de l'atlas saharien dans la région de Djelfa en Algérie.

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La coopération dans l'enseignement algérien nous avait conduit à visiter ces sites extraordinaires au début des années 70 : découverte en toute liberté, sans la moindre protection d'une partie des 1162 gravures recensées dans le schéma directeur d'aménagement touristique de 2012 p. 52

carte C'&tait l'époque d'avant l'informatique généralisée, nous n'avions qu'une seule carte manuscrite, ronéotée à l'alcool, éditée par le syndicat d'initiative et non datée, formant un cahier avec de nombreuses reproductions au trait des découvertes de F. de Villeret, dont le maintenant célèbre lion de Zaccar

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Aujourd'hui l'article de Wikipedia Gravures rupestres de la_région de Djelfa donne à chacun une information complète. Nous avions reproduit au crayon sur papier les tracés dans le rocher et collectionner les répliques. Des décennies plus tard, les papiers ont été recopiés, assemblés, photographiés pour devenir des fichiers.

Une abondante bibliographie est accessible au curieux et propose des images, des faits et des questions à partir des Gravures Rupestres De La Région De Djelfa. La représentation des béliers ornés, où, quand, comment, pourquoi est un bon sujet de ballade. Pour voir et comprendre le Bélier à sphéroïde la synthèse de G. Décamps est passionnante.

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De citation en citation, de fil en aiguille, la promenade au néolithique est sans fin. Un coup de coeur pour la bande de mouflons de Kef-el-M’saoura ou Bubalus antiquus.

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Regarder un mammouth

La vectorisation d'images peut aider à lire une photo. C'est un premier essai. Je veux intégrer un tracé de gravure rupestre à une aquarelle. Sur le web je tombe sur un mastodon gravé sur un os découvert en Floride. L'histoire est racontée dans un article intitulé Discovery of Mammoth Carving on Fossil Bone avec la photo

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Devant un objet vu pour la première fois, les questions sont nombreuses. La fouille commence. Le site et la découverte sont présentés dans wikipedia. L'article de R.G. Betnarik dans Arts 2014 contient une autre reproduction

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La suspicion d'un artefact est levée dans un article savant (B.A. Purdy et al. 2011). La présence d'une espèce disparue dans une représentation humaine sur le continent américain est largement discutée. La synthèse de E. Malotki 2017 est passionnante. D'autres sites à vocation culturelle ou touristique contiennent une autre illustration

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Notre objectif est de récupérer des représentations vectorisées des traits de gravure pour les comparer entre elles et à d'autres images. Inkscape, logiciel libre, a un module de vectorisation automatique peu utile ici tant les confusions entre le trait gravé et les aspérités de la surface sont grandes. Un peu de travail avec le stylo :

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Ce n'est pas aussi facile qu'escompté. Il faut un minimum d'interprétation qui font rêver à l'homme qui a gravé la pierre, il y a dix millénaires. Je passe quelques instants sur https://www.bing.com/images/create avec les mots art rock america mammoth petroglyphs mastodon et hop:

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Je reporte le dessin sur l'autre photo :

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Le mammouth gravé de Vero Man Beach n'est pas simplement accessible, son auteur encore bien moins. Je penche pour le mastodon. La première conclusion est qu'il faut le regarder de plus près. Quelle est la taille de cette gravure ? Existe-t-il de meilleurs photos ? D'autres reproductions ? La fouille continue. Précieux est le dessin présenté dans la page de Ahalenia :

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Il n'est pas fermé et le pied avant n'est pas tracé. Il s'agit bien d'une oeuvre d'art. La longueur de la trompe, la présence d'un pied arrière, la marque de la tête, celle du bassin et de la cuisse, autant d'interprétations délicates. Le dessin donne aussi à voir la gravure et le support et se veut illustration. Sa source est peut-être le cliché référencé Photo: Chip Clark / Smithsonian dans l'historique de la découverte très documentée publiée sur le site Don's Maps

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Les dimensions sont clairement définies dans l'article de B. Purdy et al. 2011 : 7.5 cm ✕ 3.5 cm. En fait de nombreux sites reproduisent les versions allégées des mêmes photos. Certaines sont en noir et blanc sans augmenter la lisibilité.

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La meilleure image disponible est clairement est encore le cliché référencé Photo: Chip Clark / Smithsonian dans l'étude publiée sur le site Don's Maps.

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Je recommence à regarder la gravure :

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C'est une affaire compliquée. On peut y voir la représentation d'un mammouth, ou celle du mouvement d'un mammouth, ou encore celle d'un évènement survenu à un mammouth. C'est certainement une oeuvre d'art. Je recommence encore en y mettant le moins possible de mes parasites.

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Les scientifiques lui accordent 13000 ans.

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[Copyleft Daniel Chessel][Dossier : 2023][maj : 2023-09-21]